کسرهای مختوم : در مخرج کسر پس از تجزیه به عاملهای اول فقط عاملهای 2و5 وجود دارد. در این صورت اگر صورت کسر را به مخرج آن تقسیم کنیم پس از چند رقم اعشار باقیمانده تقسیم صفر می شود. در این صورت گفته می شود عدد گویا قابل تبدیل به کسر اعشاری تحقیقی یا مختوم می باشد.

کسرهای متناوب: در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد . در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید و خارج قسمت حقیقی بدست نمی آید ، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار می شوند .این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند .

متناوب مرکب : چنانچه کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2و 5 و سایر عوامل اول وجود داشته باشد در این صورت خارج قسمت بعد از ممیز غیر از ارقام دوره گردش ارقام دیگری قبل از دوره گردش وجود دارد که تکراری نمی شوند و باقیمانده هرگز صفر نخواهد شد. این عدد را عدد اعشاری متناوب مرکب نامند.

نماد علمی

 

به تساوي روبرو توجه كنيد:

0/3456 = 3/456 * 10-3

0/00007 =7 * 10-5

1382 = 1/382 *103

700000 = 7 * 105

همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب يك عددبين 1و10 و توان مناسبي از 10، گويند اعداد فوق به صورت نماد علمي نوشته شده است.
براي جلوگيري از اشتباه در عمليات و آسان خواندن اعداد بسيار بزرگ و اعداد بسيار كوچك از نماد علمي استفاده مي كنند.

 

  يعني اينگونه اعداد را به صورت d * 10 n مي نويسند كه در آن 1≤ d , d < 10 , z عضو n

مي نويسند كه 1 اين نمايش اعداد را نمايش علمي اعداد يا نماد علمي اعداد مي گويند.

براي نوشتن يك عدد به صورت نماد علمي از قرارداد زير استفاده مي كنيم:
الف) اولين رقم غير صفر عدد مذكور را از سمت چپ مشخص مي كنيم.
ب) مميز را در سمت راست همان عدد قرار مي دهيم
ج)اگر مميز از سمت راست به چپ حركت كند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه مي شود و اگر مميز از چپ به راست حركت كند به تعداد ارقام از توان 10 كم مي شود.

678910/ = 6/78910 * 10 5

0/000623 = 6/23 * 10-4

 

انواع استدلال : 

 

1-شهودی    2- تمثیلی      3- استقرائی    4-  استنتاجی 

 

 

 

استدلال شهودی : استدلال شهودی مبتنی بردرک شهودی است وبه نوعی درک بدون استدلال است وبه وسیله ی حواس پنج گانه انجام می شود.

 

                                              

 

استدلال تمثیلی : تایید صحت یک اصل ، موضوع یایک خبری بااستفاده ازمثال

 

به عبارت دیگر: یافتن نوعی تشابه بین مفاهیم گوناگون  وارائه تناسب موضوعات جهت نشان دادن نتایج

 

به طور کلی و با بیان ساده ( می توانیم بگوییم ) : منظور از استدلال تمثیلی یعنی اثبات یک حکم با استفاده از مثال و مشابه سازی موضوع

 

 

 

استدلال استقرائی : روش نتیجه گیری کلی بر مبنای مجموعه ی محدودی از مشاهدات است و در استدلال استقرایی از جزء به کل می رسیم.

 

به عبارت دیگر: دراستدلال استقرائی  ، بااستفاده از انجام آزمایش و مشاهده ی تعداد محدودی از مشاهدات ، نتیجه گیری کلی می کنیم .

 

نکات : 

 

 هراستدلالی که برپایه تجربه باشد استقرائی است.

 

استقراء ریاضی یک نمونه ازاستدلال استقرائی است نه همه ی آن.

 

دانشمندان علوم تجربی به روش استقراء نتیجه گیری می نمودند یعنی چند بار آزمایش می نمودند و پس از بررسی آن را به عنوان نتیجه کلی عنوان می نمودند.

 

استدلال استقرائی درصورتی عمومیت دارد و قابل استناد است که نمونه ای نادرست برای آن یافت نشود.

 

در استدلال استقرائی از یک حکم جزئی یک نتیجه ی کلی می گیریم و در واقع ازجزء به کل می رسیم.

 

 

 

استدلال استنتاجی : روش نتیجه گیری بااستفاده ازحقایقی است که درستی آن ها را قبلا پذیرفته ایم

 

  بهترین و محکم ترین روش استدلال ، استدلال استنتاجی است .

 

در اثبات ارائه شده با استدلال استنتاجی مثالی وجود ندارد که نقض کننده موضوع باشد.

 

مثال :

 

مجموع دو عدد زوج همواره زوج است.